“这道题是典型的数列与函数的融合问题。”向冰站在黑板上写道：“已知数列{a_n}满足递推关系：a_{n+2}={a_{n+1}^2}/{a_n}，a_1 = 2，a_2 = 4.”
“函数定义为：.....”
“第一小问，求数列{a_n}的通项公式。有没有同学举手回答一下？”
“顾明川。”向冰刚说完，便有一名长相俊秀的男生举手了。
“向老师，这道题很简单！”顾明川一开口，便给人一种很装的感觉。
林强倒没有给予他有色眼镜，他的目的是来刷题、拿报名资格的，不想关注这些乱七八糟的事情。
“首先根据这道题给出的递推关系，我们可以计算出前几项。”顾明川语气颇为神气得回答道。
“老师，我可以到前面去，给大家写出来吗？”
“你上来吧。”向冰犹豫了一下，毕竟这道题确实简单，口述就能讲清楚，不过考虑到同学们的积极性，还是让他上来了。
顾明川拿起粉笔，在黑板上写下：
a_1 = 2，a_2 = 4.
a_3 ={a_2^2}/{a_1}= 4^2/2 = 8.
a_4 ={a_3^2}/{a_2}= 8^2/4 = 16.
a_5 ={a_4^2}/{a_3}= 16^2/8 = 32.
“由此，我们就能观察得出a_n = 2^n”
顾明川忽然转过身，笑着对讲台下的众人道：“到这儿，也许其他学校的学生就结束了。”
“但我们龙港中学的学生都知道，接下来还有更重要的一步，没有这步，就算写对了答案，也会扣不少分的。”
“对不对？向老师？”顾明川偏头笑道。
向冰愣了愣，她的目光不由看向林强。因为这里除了林强，其他都是本校的学生。所以，顾明川这句话，多少有点带刺了。
“抱歉抱歉，我没别的意思，就是单纯想给其他学校的同学指点指点，怕他漏写答题过程。”顾明川似是想到什么，连忙冲林强和向冰、季老师摆手，惭愧道。
“顾明川，你先下去。”向冰冷声道。
“哦。”顾明川挠了挠头，回到了座位上。
林强皱了皱眉头，不过也没在意，这点小事还不至于让他恼羞成怒。
“接下来，确实有一点需要注意。还有没有同学回答一下？”向冰问道。
“林强。”向冰忽然点了林强的名字。
林强站起来道：“还需要验证通项公式。”
“不错。”向冰对林强的回答，满意得点了点头。
其他学生不由回头望向林强。这道题对他们龙港中学的学生来说，不可能漏写，但其他学校的学生，漏写得还不少。没想到这个临安一中的学生，还真能答得上来。
“你上来详细写一下验证过程。”向冰微微一笑，朝林强点头道。
对林强的能力，向冰从之前那张测试卷上，已经得知了大概。向冰相信林强绝对写得出来。
林强没有犹豫，径直站到黑板前。
“假设a_n = 2^n，并将其代入递推关系：”
“a_{n+2}={a_{n+1}^2}/{a_n}.”
“左边：a_{n+2}= 2^{n+2}.”
“右边：{a_{n+1}^2}/{a_n}={(2^{n+1})^2}/{2^n}={2^{2n+2}}/{2^n}= 2^{n+2}.”
“因为左右相等，所以说明假设成立，因此数列的通项公式就是为：a_n = 2^n.”
“很好，回去吧！”向冰满意得点了点头。
讲台下的学生，不由对林强不再轻视。
顾明川摸了摸鼻子，眼睛紧紧盯着从讲台上下来的林强，“土包子。”顾明川小声嘀咕道。
“好了，相信大家都看得懂林强同学的答案，他写的很完善。我们继续第二小问。”
“证明f(x)在(0，1)上收敛。”
“收敛的概念是大学高等数学中的内容，比如，对于数列{a_n}，如果{a_n}随n的增大越来越接近某个值A，我们就说这个数列收敛于A。”
“向老师，这些内容虽说是高等数学里的，但我们早都自学过了，您不用讲得这么仔细。哦对，咱们这儿还有临安一中的同学是吧？那他应该没时间自学，对对，您还是讲讲吧。抱歉林强同学，我总是忘了这件事。”顾明川挠了挠头，不好意思道。
“顾明川，你少说两句。”顾明川前面的一名女生，侧过去沉声道。
“顾明川，你真是越来越没有规矩了！再打断我讲课，你就回教室去！”向冰也生气道。
“对不起向老师，我错了。我不说了。”顾明川连连摆手道，他还拿手装作缝上了嘴巴。
向冰继续讲完了函数收敛的概念，随后问道：“这道题的思路是什么？有没有同学站起来讲一下。”
“林强。”向冰顿了一下，直接点了林强的名字。
林强站了起来，“这道题需要对数列、函数和级数的相互联系有较深入的理解。”
“切，他还知道级数。”顾明川低着头，冷笑一声道。
“级数是大学内容，这个林强并不简单。”顾明川旁边的一名男学生，说道。
“扬哥，这小子不过装模作样罢了。土包子一个，也敢来龙港中学参加国际理科竞赛，真是笑话。”
“要不是这次奥罗拉国际科学杯的时间安排太过冲突，哪轮得到他来同我们一起登台唱戏，真是丢死脸了。”
“收起你的骄傲，别忘了，临安一中也有徐倩倩这样的牛人。”
顾明川在听到徐倩倩的名字后，明显皱了皱眉头，“徐倩倩是厉害，但除了一个徐倩倩，临安一中撑死也就是个县重点水平。我们龙港市区有那么多优秀的学生，难道就非要带这个土包子？”
“好了，别废话了，听他讲。”林烁扬皱眉道。
“扬哥，你可是年级前十！听他一个土包子讲什么？”顾明川惊怒道。
如果不是林强说话的声音，口齿清晰、声线独特，吸引了老师和学生们的注意，顾明川低沉嘶哑的声音早就被发现了。
“我们需要将无穷级数的收敛性问题转化为已知条件下的数列增长分析和级数性质证明。”
“第一步，先将函数表达式化简。”
“由题可知，函数f(x)定义为：f(x)=....”
“通过第一问，我们知道a_n = 2^n，因此可以将函数化简为：从n=1到无穷大的和，每一项是(x除以2)的n次方。”
“这表明f(x)是一个等比级数，其中公比为 r = x/2。”
“第二步，我们再分析等比级数的收敛性条件。”
“因为等比级数‘从n=1到无穷大的和，每一项是r的n次方’的收敛性依赖于公比r的绝对值。”
“所以。”
“当r的绝对值小于1时，级数收敛。”
“当r的绝对值大于等于1时，级数发散。”
“在这道题里，x/2是变量x的线性缩放，且题目限定x属于0到1，因此r的绝对值等于x/2的绝对值，等于x/2。”
“在区间x属于0到1上，显然有x/2大于0，小于0.5，因此满足r的绝对值小于1，这就能证明级数‘从n=1到无穷大的和，每一项是(x除以2)的n次方’在0到1上收敛。”
“第三步，再结合数列的增长分析，进一步解释收敛原因。”
“因为分母a_n = 2^n是指数增长的，而分子 x^n是随n增大的幂函数。且分母的增长速度远快于分子的增长速度，导致每一项{x^n}/{a_n}都迅速趋于0。”
“所以，级数的部分和会逐渐收敛到一个有限值。”
“向老师，我说完了。”
