“行了，事已至此说这些也没用，希望能有奇迹吧。”向冰冷冷道。
“呼——”林强长长得舒了一口气。
他此时的大脑，仿佛转出了火花。精力在思考过程中不断被消耗。
如果不是「的精力」以及这段时间锻炼过身体，使得他的脑力和体力都处于巅峰活跃状态，光是思考的这一小会儿，他都得累晕过去。
'第一小问，涉及到的知识点多且复杂，且题目明确要求，需要分两部分进行证明。'
‘所以，先证明 f(x)在区间[0，1]上是一致连续的。’
‘再证明对于任意 x∈[0，1]，有 0≤ f(x)≤ x^α。’
思考至此，林强提笔写道：
由题设，函数 f(x)满足：
|f(x)- f(y)|≤|x - y|^α，?x，y∈[0，1].
这意味着：对任意ε＞ 0，取δ=ε^{1/α}，当|x - y|＜δ时，有
|f(x)- f(y)|≤|x - y|^α＜ε.
因此， f(x)是一致连续的。
又因为，f(x)≥ 0，f(0)= 0，且对于任意 x∈[0，1]，由题设
|f(x)- f(0)|≤|x - 0|^α= x^α.
即f(x)≥ 0.
再者f(x)≤ x^α，故可用反证法证明 f(x)≤ x^α：
假设存在 x_0∈[0，1]，使得 f(x_0)＞ x_0^α。
令 x_1 = 0，由Lipschitz条件可得：
|f(x_0)- f(0)|≤|x_0 - 0|^α= x_0^α.
由于 f(0)= 0，所以 f(x_0)≤ x_0^α，这与假设 f(x_0)＞ x_0^α矛盾。
因此， f(x)≤ x^α对任意 x∈[0，1]成立。
总结，函数 f(x)在[0，1]上是一致连续的，且对于任意 x∈[0，1]，有 0≤ f(x)≤ x^α，成立。
‘第二小问，这道题要求证明lim{n→∞}∫{0~1}f(t)^n dt = 0。其中，f(t)是定义在区间[0，1]上的函数，且满足 0≤ f(t)≤ t^α(0 ＜α＜ 1)。’
林强继续思索道：‘这一问的关键在于，其一， f(t)的值域随着 t→ 0急剧趋于0。其二，函数 f(t)^n的指数增长行为导致其对积分值的贡献主要集中在某些特定区间（通常是靠近 0的区域）。
所以需要结合积分的性质、函数的限制条件以及极限分析逐步得出结论。’
有了思路，林强开始答题。
首先，已知：0≤ f(t)≤ t^α对于任意 t∈[0，1]。
因此，0≤ f(t)^n≤(t^α)^n = t^{nα}。
这表明 f(t)^n被 t^{nα}上界控制，且当 n→∞时，t^{nα}在大部分区间迅速趋于0。
故而要用已知不等式 0≤ f(t)^n≤ t^{nα}，对积分进行夹逼：
0≤∫{0~1} f(t)^n dt≤∫{0~1} t^{nα} dt.
之后，计算∫{0~1} t^{nα} dt
结果为，
∫{0~1} t^{nα} dt =[{t^{nα+ 1}}/{nα+ 1}]{0~1}={1}/{nα+ 1}.
当 n→∞，显然{1}/{nα+ 1}→ 0。
因此，根据夹逼定理：
lim_{n→∞}∫{0~1} f(t)^n dt = 0.
‘OK.....第三小问了。’做完第二问，林强又马不停蹄地开始解答第三小问。
‘第三问要求研究函数 g(x)=∫{0~x} f(t)^n dt在 n→∞时的增长速率，并证明 g(1)~{1}/{n·β}。此外，需要比较 g(1)和 h(x)= x^β的增长速率。’
‘题型难度和复杂程度，在逐步攀升。’林强喃喃道，他发现自已似乎太低估一项国际理科竞赛的难度了。
这种题目，要不是他刷的题够多，对各种题型的理解非常深刻，外加雄厚的基础知识撑腰。打死他都不可能写出一丁点答案。
‘确实难。’林强由衷感慨道。
他现在需要赶快找出这道题的关键点。
经过一分钟的深入思考，辅之以「数学心算精通」的能力，林强快速把这道题在心里用好几种计算方法过了一遍。
不知道失败了几次，林强终于摸索出此题的命门。
‘关键一。’
‘函数 f(t)^n由于 f(t)≤ t^α，在 n趋于无穷时，其对积分的主要贡献会集中在 t的特定区间。’
‘关键二。’
‘需要从积分的上下界和函数的性质出发，分析 g(x)的渐进行为。’
‘没错！就是这样。’林强双眼一亮，提笔就干。
他在答题纸上写道：
定义：
g(x)=∫{0~x} f(t)^n dt.
根据题目已知：
0≤ f(t)≤ t^α t∈[0，1].
因此，函数 f(t)^n具有以下性质：
1、f(t)^n≤ t^{nα}，尤其当 t较小时，指数 nα使得 f(t)^n值接近于 0。
2、对积分上界的控制，∫{0~x} f(t)^n dt≤∫{0~x} t^{nα} dt。
然后，需要对积分的上下界进行估计。
首先是上界，利用 f(t)^n≤ t^{nα}，对积分进行直接估计：
g(x)=∫{0~x} f(t)^n dt≤∫{0~x} t^{nα} dt.
计算右侧积分：
∫{0~x} t^{nα} dt =[{t^{nα+ 1}}/{nα+ 1}]{0~x}={x^{nα+ 1}}/{nα+ 1}.
因此，有：
g(x)≤{x^{nα+ 1}}/{nα+ 1}.
其次是下界，因为 f(t)^n≥ 0，故可知：g(x)≥ 0.
假设 f(t)的某个具体形式（例如 f(t)≈ t^α），可将积分下界与∫{0~x} t^{nα} dt比较，从而推导出其渐近形式。
接下来，确定 g(1)的渐近行为
令 x = 1，即：
g(1)=∫{0~1} f(t)^n dt.
根据上界的估计：
g(1)≤{1^{nα+ 1}}/{nα+ 1}={1}/{nα+ 1}.
从上式可以看出，当n趋于无穷时，g(1)的增长速率满足：
g(1)~{1}/{n·β}，
其中β=α+ 1。
最后，比较 g(1)和 h(1)的增长速率
定义 h(x)= x^β，当 x = 1时，h(1)= 1^β= 1。
g(1)的增长速率：
从前述分析得知，g(1)~{1}/{n·β}，随着 n增大，g(1)迅速趋近于 0。
相对速率变化：
比较两者的增长速率，发现：
{g(1)}/{h(1)}={{1}/{n·β}}/{1}={1}/{n·β}.
因此，g(1)的增长速率远小于 h(1)，且随着 n增大，其比例趋于 0。
结论，通过上下界估计和渐近分析，得出：
1. g(1)~{1}/{n·β}，当 n→∞时，增长速率显著下降。
2.与 h(1)比较，g(1)的增长速率远小于 h(1)。
